Решение иррациональных уравнений. Как решать уравнения с корнем по математике
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Методические разработки к элективному курсу
«Методы решений иррациональных уравнений»»
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемый элективный курс «Методы решений иррациональных уравнений» предназначен для учащихся 11 класса общеобразовательной школы и является предметно-ориентированным, направлен на расширение теоретических и практических знаний учащихся. Элективный курс построен с опорой на знания и умения, получаемые учащимися при изучении математики в средней школе.
Специфика данного курса заключается в том, что он предназначен в первую очередь для учащихся, желающих расширить, углубить, систематизировать, обобщить свои математические знания, изучить единые методы и приемы решения иррациональных уравнений. В программу включены вопросы, частично выходящие за рамки ныне действующих программ по математике и нестандартные методы, которые позволяют более эффективно решать разные задачи.
Большинство заданий ЕГЭ требуют от выпускников владения различными методами решения разного рода уравнений и их систем. Материал, связанный с уравнениями и системами уравнений, составляет значительную часть школьного курса математики. Актуальность выбора темы элективного курса определяется значимостью темы «Иррациональные уравнения» в школьном курсе математики и, вместе с тем, нехваткой времени на рассмотрение нестандартных методов и подходов к решению иррациональных уравнений, которые встречаются в заданиях группы «С» ЕГЭ.
Наряду с основой задачей обучения математике -обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений – данный элективный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, развитие математических способностей, повышение уровня математической культуры учащихся, создает базу для успешной сдачи ЕГЭ и продолжения обучения в ВУЗах.
Цель курса:
Повысить уровень понимания и практической подготовки при решении иррациональных уравнений;
Изучить приёмы и методы решения иррациональных уравнений;
Формировать умение анализировать, выделять главное, формировать элементы творческого поиска на основе приёмов обобщения;
Расширить знания учащихся по данной теме, совершенствовать умения и навыки решения различных задач для успешной сдачи ЕГЭ.
Задачи курса:
Расширение знаний о методах и способах решения алгебраических уравнений;
Обобщение и систематизация знаний при обучении в 10-11 классах и подготовке к ЕГЭ;
Развитие умения самостоятельно приобретать и применять знания;
Приобщение учащихся к работе с математической литературой;
Развитие логического мышления учащихся, их алгоритмической культуры и математической интуиции;
Повышение математической культуры ученика.
Программа элективного курса предполагает изучение различных методов и подходов при решении иррациональных уравнений, отработку практических навыков по рассматриваемым вопросам. Курс рассчитан на 17 часов.
Программа усложнена, превосходит обычный курс обучения, способствует развитию абстрактного мышления, расширяет область познания учащегося. Вместе с тем она сохраняет преемственность с действующими программами, являясь их логическим продолжением.
Учебно-тематический план
№п/п
Тема занятий
Кол-во часов
Решение уравнений с учетом области допустимых значений
Решение иррациональных уравнений путем возведения в натуральную степень
Решение уравнений методом введения вспомогательных переменных (метод замены)
Решение уравнения с радикалом третьей степени.
Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений
Нетрадиционные задачи. Задачи группы «С» ЕГЭ
Формы контроля: домашние контрольные, самостоятельные работы, рефераты и исследовательские работы.
В результате обучения данного элективного курса учащиеся должны уметь решать различные иррациональные уравнения, используя стандартные и нестандартные методы и приемы;
усвоить алгоритм решения стандартных иррациональных уравнений;
уметь использовать свойства уравнений для решения нестандартных заданий;
уметь выполнять тождественные преобразования при решении уравнений;
иметь четкое представление о темах единого государственного экзамена, об основных методах их решений;
приобрести опыт в выборе методов для решения нестандартных задач.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.
Уравнения, в которых неизвестная величина находится под знаком радикала, называются иррациональными.
К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида:
Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. При решении иррациональных уравнений речь всегда идет об отыскании действительных корней.
Рассмотрим некоторые способы решения иррациональных уравнений.
1.Решение иррациональных уравнений с учетом области допустимых значений (ОДЗ).
Область допустимых значений иррационального уравнения состоит из тех значений неизвестных, при которых неотрицательными являются все выражения, стоящие под знаком радикала четной степени.
Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ .
Пример1 . Решить уравнение .
Решение . Найдя ОДЗ этого уравнения, приходим к выводу, что ОДЗ исходного уравнения – одноэлементное множество . Подставив х=2 в данное уравнение, приходим к выводу, что х=2 – корень исходного уравнения.
Ответ : 2 .
Пример2.
Уравнение не имеет решений, т.к. при каждом допустимом значении переменной сумма двух неотрицательных чисел не может быть отрицательна.
Пример 3.
+ 3 =
.
ОДЗ:
ОДЗ уравнения пустое множество.
Ответ: уравнение корней не имеет.
Пример4.
3
−4
−
=−(2+
).
ОДЗ:
ОДЗ:
. Проверкой убеждаемся, что х=1 - корень уравнения.
Ответ: 1.
Докажите, что уравнение не имеет
корней.
1.
= 0.
2.
=1.
3. 5
.
4.
+
=2.
5.
=
.
Решите уравнение.
1. .
2. = 0.
3.
= 92.
4. = 0.
5.
+
+(х+3)(2005−х)=0.
2. Возведение обеих частей уравнения в натуральную степень , то есть переход от уравнения
(1)
к уравнению
. (2)
Справедливы следующие утверждения:
1) при любом уравнение (2) является следствием уравнения (1);
2) если (n – нечетное число), то уравнения (1) и (2) равносильны ;
3) если (n – четное число), то уравнение (2) равносильно уравнению
, (3)
а уравнение (3) равносильно совокупности уравнений
. (4)
В частности, уравнение
(5)
равносильно совокупности уравнений (4).
Пример 1 . Решить уравнение
.
Уравнение равносильно системе
откуда следует, что х=1 , а корень не удовлетворяет второму неравенству. При этом грамотное решение не требует проверки.
Ответ: х=1 .
Пример 2 . Решить уравнение .
Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и . Однако при этих значениях x не выполняется неравенство , и потому данное уравнение не имеет корней.
Ответ : корней нет.
Пример 3 . Решить уравнение
Уединив первый радикал, получаем уравнение
равносильное исходному.
Возводя обе части этого уравнения в квадрат, так как они обе положительны, получаем уравнение
,
которое является следствием исходного уравнения. Возводя обе части этого уравнения в квадрат при условии, что , приходим к уравнению
.
Это уравнение имеет корни , . Первый корень удовлетворяет исходному условию , а второй – не удовлетворяет.
Ответ : х=2 .
Если уравнение содержит два и более радикалов, то их сначала уединяют, а потом возводят в квадрат.
Пример 1.
Уединив первый радикал, получим уравнение , равносильное данному. Возведем в квадрат обе части уравнения:
Выполнив необходимые преобразования, полученное уравнение возведем в квадрат
Выполнив проверку, замечаем, что
не входит в область допустимых значений.
Ответ: 8.
Ответ: 2
Ответ: 3; 1,4 .
3. Многие иррациональные уравнения решаются методом введения вспомогательных переменных.
Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение , зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.
Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда несколько завуалирована, но «ощущается», а иногда «проявляется» лишь в процессе преобразований.
Пример 1.
Пусть
t>0, тогда
t =
,
t 2 +5t-14=0,
t 1 =-7, t 2 =2. t=-7 не удовлетворяет условию t>0, тогда
,
х 2 -2х-5=0,
х 1 =1-
, х 2 =1+
.
Ответ: 1-
; 1+
.
Пример 2. Решить иррациональное уравнение
Замена:
Обратная замена: /
Ответ:
Пример 3. Решите уравнение .
Сделаем замены: , . Исходное уравнение перепишется в виде , откуда находим, что а = 4b и . Далее, возводя обе части уравнения в квадрат, получаем: Отсюда х = 15 . Осталось сделать проверку:
- верно!
Ответ: 15.
Пример 4 . Решить уравнение
Положив , получим существенно более простое иррациональное уравнение . Возведем обе части уравнения в квадрат: .
; ;
; ; , .
Проверка найденных значений, их подстановка в уравнение показывает, что – корень уравнения, а – посторонний корень.
Возвращаясь к исходной переменной x , получаем уравнение , то есть квадратное уравнение , решив которое находим два корня: ,. Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ : , .
Замена особенно полезна, если в результате достигается новое качество, например, иррациональное уравнение превращается в рациональное.
Пример 6 . Решить уравнение .
Перепишем уравнение так: .
Видно, что если ввести новую переменную , то уравнение примет вид , откуда - посторонний корень и .
Из уравнения получаем , .
Ответ : , .
Пример 7 . Решить уравнение .
Введем новую переменную , .
В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного
,
откуда учитывая ограничение , получаем . Решая уравнение , получаем корень . Ответ : 2,5.
Задания для самостоятельного решения.
1.
+
=
.
2.
+
=.
3.
.
5.
.
4.Метод введения двух вспомогательных переменных.
Уравнения вида (здесь a , b , c , d – некоторые числа, m , n – натуральные числа) и ряд других уравнений часто удается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных: и , где и последующего перехода к эквивалентной системе рациональных уравнений .
Пример 1 . Решить уравнение .
Возведение обеих частей этого уравнения в четвертую степень не обещает ничего хорошего. Если же положить , , то исходное уравнение переписывается так: . Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z . Для этого возведем равенства , в четвертую степень и заметим, что . Итак, надо решить систему уравнений
Возведением в квадрат получаем:
После подстановки имеем: или . Тогда система имеет два решения: , ; , , а система не имеет решений.
Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным
и систему Первая из них дает , вторая дает .
Ответ : , .
Пример 2.
Пусть
Ответ:
5.
Уравнения с радикалом третьей степени.
При решении уравнений, содержащих радикалы 3-й степени, бывает полезно пользоваться сложением тождествами:
Пример 1.
.
Возведём обе части этого уравнения в 3-ю степень и воспользуемся выше приведённым тождеством:
Заметим, что выражение стоящее в скобках равно 1, что следует из первоначального уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим:
Раскроем скобки, приведём подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни
и
. Если считать (по определению), что корень нечётной степени можно извлекать и из отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения.
Ответ:
.
6.Умножение обеих частей уравнения на сопряженное одной из них выражение.
Иногда иррациональное уравнение удается решить довольно быстро, если обе его части умножить на удачно подобранную функцию. Конечно, при умножении обеих частей уравнения на некоторую функцию могут появиться посторонние решения, ими могут оказаться нули самой этой функции. Поэтому предлагаемый метод требует обязательного исследования получающихся значений.
Пример 1. Решите уравнение
Решение: Выберем функцию
Умножим обе части уравнения на выбранную функцию:
Приведем подобные слагаемые и получим равносильное уравнение
Сложим исходное уравнение и последнее, получим
Ответ: .
7.Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений
При решении иррациональных уравнений часто приходится применять тождественные преобразования, связанные с использованием известных формул. К сожалению, эти действия иногда столь же небезопасны, так же как возведение в четную степень, – могут приобретаться или теряться решения.
Рассмотрим несколько ситуаций, в которых эти проблемы наступают, и научимся их распознать и предотвращать.
I. Пример 1 . Решить уравнение .
Решение. Здесь применима формула .
Только необходимо задуматься о безопасности ее применения. Нетрудно видеть, что ее левая и правая части имеют разные области определения и что это равенство верно лишь при условии . Поэтому исходное уравнение равносильно системе
Решая уравнение этой системы, получим корни и . Второй корень не удовлетворяет совокупности неравенств системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.
Ответ: -1 .
II .Следующее опасное преобразование при решении иррациональных уравнений, определяется формулой .
Если пользоваться этой формулой слева направо, расширяется ОДЗ и можно приобрести посторонние решения. Действительно, в левой части обе функции и должны быть неотрицательны; а в правой неотрицательным должно быть их произведение.
Рассмотрим пример, где реализуется проблема с использованием формулы .
Пример 2 . Решить уравнение .
Решение. Попробуем решить это уравнение разложением на множители
Заметим, что при этом действии оказалось потерянным решение , так как оно подходит к исходному уравнению и уже не подходит к полученному: не имеет смысла при . Поэтому это уравнение лучше решать обычным возведением в квадрат
Решая уравнение этой системы, получим корни и . Оба корня удовлетворяют неравенству системы.
Ответ: , .
III .Существует еще более опасное действие – сокращение на общий множитель.
Пример 3 . Решить уравнение .
Неверное рассуждение: Сократим обе части уравнения на , получим .
Нет ничего более опасного и неправильного, чем это действие. Во-первых, подходящее решение исходного уравнения было потеряно; во-вторых, было приобретено два посторонних решения . Получается, что новое уравнение не имеет ничего общего с исходным! Приведем правильное решение.
Решение . Перенесем все члены в левую часть уравнения и разложим ее на множители
.
Это уравнение равносильно системе
которая имеет единственное решение .
Ответ: 3 .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
В рамках изучения элективного курса показаны нестандартные приемы решения сложных задач, которые успешно развивают логическое мышление, умение найти среди множества способов решения тот, который комфортен для ученика и рационален. Этот курс требует от учащихся большой самостоятельной работы, способствует подготовке учащихся к продолжению образования, повышения уровня математической культуры.
В работе были рассмотрены основные методы решения иррациональных уравнений, некоторые подходы к решению уравнений высших степеней, использование которых предполагается при решении заданий ЕГЭ, а также при поступлении в ВУЗы и продолжении математического образования. Также было раскрыто содержание основных понятий и утверждений, относящихся к теории решения иррациональных уравнений. Определив самый распространённый метод решения уравнений, выявили его применение в стандартных и не стандартных ситуациях. Кроме того, были рассмотрены типичные ошибки при выполнении тождественных преобразований и способы их преодоления.
При прохождении курса учащиеся получат возможность овладеть различными методами и приемами решения уравнений, при этом научатся систематизировать и обобщать теоретические сведения, самостоятельно заниматься поиском решения некоторых проблем и в связи с этим составлять ряд задач и упражнений по данным темам. Выбор сложного материала поможет школьникам проявить себя в исследовательской деятельности.
Положительной стороной курса является возможность дальнейшего применения учащимися изученного материала при сдаче ЕГЭ, поступлении в ВУЗы.
Отрицательной стороной является то, что не каждый учащийся в состоянии овладеть всеми приемами данного курса, даже имея на то желание, ввиду трудности большинства решаемых задач.
ЛИТЕРАТУРА:
Шарыгин И.Ф. « Математика для поступающих в вузы».-3-е изд.,-М.:Дрофа, 2000.
Уравнения и неравенства. Справочное пособие./ Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. –М.: Экзамен,1998.
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. «Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену». – 8-е изд., испр. и доп. – М.:Айрис, 2003. – (Домашний репетитор)
Балаян Э.Н. Комплексные упражнения и варианты тренировочных заданий к ЕГЭ по математике. Ростов на – Дону: Изд-во «Феникс», 2004.
Сканави М.И. «Сборник задач по математике для поступающих в вузы». - М., «Высшая школа»,1998.
Игусман О.С. «Математика на устном экзамене». - М.,Айрис,1999.
Экзаменационные материалы для подготовки к ЕГЭ – 2008 – 2012.
В.В.Кочагин, М.Н.Кочагина «ЕГЭ – 2010. Математика. Репетитор» Москва «Просвещение» 2010г.
В.А.Гусев, А.Г.Мордкович «Математика. Справочные материалы» Москва «Просвещение» 1988г.
После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Понятие уравнения
Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:
Определение 1
Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t , r , m др., но чаще всего используются x , y , z . Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.
Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x = 5 , y = 6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 · t = 4 , 6: x = 3 .
После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7 · (x − 1) = 19 , x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x · (8 + 1) − 7 = 8 , 3 − 3 = z + 3 или 8 · x − 9 = 2 · (x + 17) .
Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.
В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:
Определение 2
Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.
То есть, к примеру, выражение x + 3 = 6 · x + 7 – это уравнение с переменной x , а 3 · y − 1 + y = 0 – уравнение с переменной y .
В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:
Определение 3
Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.
К примеру, равенство вида 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 является уравнением с одной переменной x , а x − z = 5 – уравнением с двумя переменными x и z . Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0 , 6) 2 = 26 .
Корень уравнения
Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.
Пример 1
Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a + 1 = 5 мы заменим букву числом 2 , то равенство станет неверным, а если 4 , то получится верное равенство 4 + 1 = 5 .
Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.
Определение 4
Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.
Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.
Пример 2
Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a + 1 = 5 . Согласно определению, корнем в данном случае будет 4 , потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2 + 1 = 5 .
Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.
Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0 · x = 5 . Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0 .
Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.
Пример 3
Так, в уравнении x − 2 = 4 есть только один корень – шесть, в x 2 = 9 два корня – три и минус три, в x · (x − 1) · (x − 2) = 0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.
Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅ . Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня - 2 , 1 и 5 , то пишем - 2 , 1 , 5 или { - 2 , 1 , 5 } .
Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y , а корнями являются 2 и 7 , то мы пишем y = 2 и y = 7 . Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x 1 = 3 , x 2 = 5 . Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N , целых – Z , действительных – R . Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x ∈ Z , а если любое действительное от единицы до девяти, то y ∈ 1 , 9 .
Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.
Определение 5
Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.
Поясним определение на примерах.
Пример 4
Допустим, у нас есть выражение x + y = 7 , которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4 , то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.
Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как (3 , 4) .
На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter