Координатная плоскость и координаты точек на плоскости. Декартовы координаты точек плоскости

Основные сведения о координатной плоскости

Каждый объект (например, дом, место в зрительном зале, точка на карте) имеет свой упорядоченный адрес (координаты), который имеет числовое или буквенное обозначение.

Математики разработали модель, которая позволяет определять положение объекта и называется координатной плоскостью .

Чтобы построить координатную плоскость нужно провести $2$ перпендикулярные прямые , на конце которых указываются с помощью стрелок направления «вправо» и «вверх». На прямые наносятся деления, а точка пересечения прямых является нулевой отметкой для обеих шкал.

Определение 1

Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается х, а вертикальная прямая называется осью ординат и обозначается у.

Две перпендикулярные оси х и у с делениями составляют прямоугольную , или декартовую , систему координат , которую предложил французский философ и математик Рене Декарт.

Координатная плоскость

Координаты точки

Точка на координатной плоскости определяется двумя координатами.

Чтобы определить координаты точки $A$ на координатной плоскости нужно через нее провести прямые, которые будут параллельны координатным осям (на рисунке выделены пунктирной линией). Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$ точки $A$, а пересечение с осью ординат дает координату у точки $A$. При записи координат точки сначала записывается координата $x$, а затем координата $y$.

Точка $A$ на рисунке имеет координаты $(3; 2)$, а точка $B (–1; 4)$.

Для нанесения точки на координатную плоскость действуют в обратном порядке.

Построение точки по заданным координатам

Пример 1

На координатной плоскости построить точки $A(2;5)$ и $B(3; –1).$

Решение .

Построение точки $A$:

отложим число $2$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
на оси у отложим число $5$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $A$ с координатами $(2; 5)$.

Построение точки $B$:

отложим на оси $x$ число $3$ и проведем перпендикулярную оси х прямую;
на оси $y$ отложим число $(–1)$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $B$ с координатами $(3; –1)$.

Пример 2

Построить на координатной плоскости точки с заданными координатами $C (3; 0)$ и $D(0; 2)$.

Решение .

Построение точки $C$:

отложим число $3$ на оси $x$;
координата $y$ равна нулю, значит точка $C$ будет лежать на оси $x$.

Построение точки $D$:

отложим число $2$ на оси $y$;
координата $x$ равна нулю, значит, точка $D$ будет лежать на оси $y$.

Замечание 1

Следовательно, при координате $x=0$ точка будет лежать на оси $y$, а при координате $y=0$ точка будет лежать на оси $x$.

Пример 3

Определить координаты точек A, B, C, D.$

Решение .

Определим координаты точки $A$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Таким образом, получаем, что точка $A (1; 3).$

Определим координаты точки $B$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Получаем, что точка $B (–2; 4).$

Определим координаты точки $C$. Т.к. она расположена на оси $y$, то координата $x$ этой точки равна нулю. Координата у равна $–2$. Таким образом, точка $C (0; –2)$.

Определим координаты точки $D$. Т.к. она находится на оси $x$, то координата $y$ равна нулю. Координата $x$ этой точки равна $–5$. Таким образом, точка $D (5; 0).$

Пример 4

Построить точки $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

Решение .

Построение точки $E$:

отложим число $(–3)$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
на оси $y$ отложим число $(–2)$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $E (–3; –2).$

Построение точки $F$:

координата $y=0$, значит, точка лежит на оси $x$;
отложим на оси $x$ число $5$ и получим точку $F(5; 0).$

Построение точки $G$:

отложим число $3$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $x$;
на оси $y$ отложим число $4$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $G(3; 4).$

Построение точки $H$:

координата $x=0$, значит, точка лежит на оси $y$;
отложим на оси $y$ число $(–4)$ и получим точку $H(0; –4).$

Построение точки $O$:

обе координаты точки равны нулю, значит, точка лежит одновременно и на оси $y$, и на оси $x$, следовательно является точкой пересечения обеих осей (началом координат).

Инструкция

Постройте три координатные плоскости, чтобы иметь начало отсчета в точке О. На чертеже плоскости проекций в виде трех осей – ох, оу и оz, причем ось оz направлена вверх, ось оу – вправо. Чтобы построить последнюю ось ох, разделите угол между осями оу и оz напополам (если вы рисуете на листе в клетку, просто проведите эту ось ).

Обратите внимание, если координаты точки А записаны в виде трех в скобках (а, b, с), то первое число а – от плоскости х, второе b – от у, третье c – от z. Сначала возьмите первую координату а и отметьте ее на оси ох, влево и вниз, если число а положительное, вправо и вверх, если оно отрицательное. Полученную букву назовите В.

Затем отложите последнее число с вверх по оси оz, если оно положительное, и вниз по этой же оси, если отрицательное. Отметьте полученную точку буквой D.

Из полученных точек проведите проекций искомой точки на плоскостях. То есть в точке В проведите две прямые, которые будут параллельны осям оу и oz, в точке С проведите прямые, параллельные осям ох и oz, в точке D – прямые, параллельные ох и оу.

Если одна из координат точки равна нулю, точка лежит в одной из плоскостей проекций. В таком случае просто отметьте известные координаты на плоскости и найдите точку пересечения их проекций. Будьте внимательны при построении точек с координатами (а, 0, с) и (а, b, 0), не забывайте, что проекция на ось ох осуществляется под углом в 45⁰.

Видео по теме

Источники:

по координатам построить

Совет 2: Как проверить, что точки не лежат на одной прямой

На основании аксиомы, описывающей свойства прямой : какова бы ни была прямая, есть точки , принадлежащие и не принадлежащие ей. Поэтому вполне логично, что не все точки будут лежать на одной прямой линии.

Вам понадобится

- карандаш;
- линейка;
- ручка;
- тетрадь;
- калькулятор.

Инструкция

В том случае, если (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) будет меньше нуля, точка К располагается выше или левее линии. Другими словами, только в том случае, если уравнение вида (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0 справедливо, точки А, В и К будут расположены на одной прямой .

В остальных случаях лишь две точки (А и В), которые, по условию задания, лежат на прямой , будут ей принадлежать: через третью точку (точку К) прямая проходить не будет.

Рассмотрите второй вариант принадлежности точки примой: на этот раз нужно проверить принадлежит ли точка С(x,y) отрезку с концевыми точками В(x1,y1) и А(x2,y2), который является частью прямой z.

Точки рассматриваемого отрезка опишите уравнением pOB+(1-p)OА=z, при условии, что 0≤p≤1. ОВ и ОА являются векторами. Если есть число p, которое больше или равно 0, но меньше или равно 1, то pOB+(1-p)OА=С, а , точка С будет лежать на отрезке АВ. В противном случае, данная точка не будет принадлежать этому отрезку.

Распишите равенство pOB+(1-p)OА=С покоординатно: px1+(1-p)x2=x и py1+(1-p)y2=y.

Найдите из первого число р и подставьте его значение во второе равенство. Если равенство будет соответствовать условиям 0≤p≤1, то точка С принадлежит отрезку АВ.

Обратите внимание

Убедитесь в правильности расчетов!

Полезный совет

Чтобы найти k - угловой коэффициент прямой, нужно (y2 - y1)/(x2 - x1).

Источники:

Алгоритм проверки принадлежности точки многоугольнику. Метод трассировки луча в 2019

Трехмерное пространство состоит из трех основных понятий, которые вы постепенно изучаете в школьной программе: точка, прямая, плоскость. В ходе работы с некоторыми математическими величинами вам может понадобиться объединить эти элементы, например, построить плоскость в пространстве по точке и прямой.

Инструкция

Чтобы понять алгоритм построения плоскостей в пространстве, обратите внимание на некоторые аксиомы, которые описывают свойства плоскости или плоскостей. Первое: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, при этом только одна. Стало быть, для построения плоскости вам достаточно трех точек, удовлетворяющих по положению аксиоме.

Второе: через любые две точки проходит прямая, при этом только одна. Соответственно, построить плоскость можно через прямую и точку, не лежащую на ней. Если от обратного: любая прямая содержит, как минимум, две точки, через которые она проходит, если известна еще одна точка, не на этой прямой, через эти три точки можно построить прямую, как в пункте первом. Каждая точка этой прямой будет принадлежать плоскости.

Третье: через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, при этом только одна. Пересекающиеся прямые могут образовать только одну общую точку. Если в пространстве, они будут иметь бесконечное количество общих точек, и, следовательно, составлять одну прямую. Когда вам известны две прямые, имеющие точку пересечения, вы можете построить не более одной плоскости, проходящей через эти прямые.

Четвертое: через две параллельные прямые можно провести плоскость, при этом только одну. Соответственно, если вам известно, что прямые параллельны, вы можете провести через них плоскость.

Пятое: через прямую можно провести бесконечное количество плоскостей. Все эти плоскости могут быть рассмотрены как вращение одной плоскости вокруг заданной прямой, или как бесконечное множество плоскостей, имеющих одну линию пересечения.

Итак, построить плоскость вы можете, если найдены все элементы, которые определяют ее положение в пространстве: три точки, не лежащие на прямой, прямая и точка, не принадлежащая прямой, две пересекающиеся или две параллельные прямые.

Видео по теме

Знаете ли вы, что организм человека - это мини-электростанция? Каждый из нас вырабатывает небольшое количество электроэнергии. Это происходит как в движении, так и в покое - тогда выработка электричества происходит во внутренних органах, одним из которых является сердце.

Одним из медицинских исследований, позволяющих определить состояние сердца, является ЭКГ. Кардиолог снимает электрокардиограмму, чтобы узнать, расположено в грудной клетке, как работают предсердия, клапаны и желудочки, их форма и нет ли функциональных изменений. Один из важнейших показателей ЭКГ - направленность электрической оси сердца.

Что такое ось сердца и как ее найти?

Сердечную ось (как и ось земную) невозможно увидеть или потрогать. Она определяется только с помощью электрокардиографа, ведь он фиксирует электрическую активность сердца. Когда клетки сердечной мышцы напрягаются и расслабляются, повинуясь импульсам, идущим от нервной системы, они образуют электрическое поле, центром которого и является ЭОС (электрическая ось сердца).

Но если заглянуть в анатомический атлас, можно провести вертикальную линию, которая поделит сердце на две равные части - примерно так и располагается ось сердца. Отсюда можно сделать вывод, что ЭОС совпадает с так называемой анатомической осью. Конечно, каждый человек индивидуален, поэтому и электрическая ось у разных людей может располагаться по-иному (к примеру, если отталкиваться от серднестатистического значения, то у худого человека ЭОС расположена вертикально, а у тучного - горизонтально).

Когда сердечная ось меняет положение?

Сняв ЭКГ и узнав, как располагается ЭОС, кардиолог может сказать вам, как в грудной клетке , здоров ли миокард (сердечная ), как нервные импульсы проходят к разным отделам сердца.

Если электрокардиограмма показывает, что электрическая ось вправо или влево, это укажет врачу на какой-либо патологический процесс. Отклонение вправо может навести на подозрения о неправильном положении сердца (его смещение может быть врожденным или возникать вследствие расширения аорты, возникновения новообразований и прочих патологий). Кроме того, отклонение ЭОС - признак опасных для жизни состояний: декстрокардии, блокады пучка Гиса, инфаркта миокарда (его передней стенки).

Если же ЭОС значительно отклонена в левую сторону, это может быть признаком кардиомиопатии, гипертрофии некоторых отделов сердца, верхушечного инфаркта или врожденного порока.

Ряд заболеваний сердца может до поры протекать бессимптомно. Поэтому так важно периодически проходить медосмотр, одной из составляющих которого является ЭКГ. Ведь болезнь легче предупредить, . А болезни сердца нужно в обязательном порядке, ведь они - прямая угроза жизни.

Основные сведения о координатной плоскости

Определение 1

Координатная плоскость

Координаты точки

Точка на координатной плоскости определяется двумя координатами.

Точка $A$ на рисунке имеет координаты $(3; 2)$, а точка $B (–1; 4)$.

Для нанесения точки на координатную плоскость действуют в обратном порядке.

Построение точки по заданным координатам

Пример 1

На координатной плоскости построить точки $A(2;5)$ и $B(3; –1).$

Решение .

Построение точки $A$:

отложим число $2$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
на оси у отложим число $5$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $A$ с координатами $(2; 5)$.

Построение точки $B$:

отложим на оси $x$ число $3$ и проведем перпендикулярную оси х прямую;
на оси $y$ отложим число $(–1)$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $B$ с координатами $(3; –1)$.

Пример 2

Построить на координатной плоскости точки с заданными координатами $C (3; 0)$ и $D(0; 2)$.

Решение .

Построение точки $C$:

отложим число $3$ на оси $x$;
координата $y$ равна нулю, значит точка $C$ будет лежать на оси $x$.

Построение точки $D$:

отложим число $2$ на оси $y$;
координата $x$ равна нулю, значит, точка $D$ будет лежать на оси $y$.

Замечание 1

Пример 3

Определить координаты точек A, B, C, D.$

Решение .

Пример 4

Построить точки $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

Решение .

Построение точки $E$:

отложим число $(–3)$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
на оси $y$ отложим число $(–2)$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $E (–3; –2).$

Построение точки $F$:

координата $y=0$, значит, точка лежит на оси $x$;
отложим на оси $x$ число $5$ и получим точку $F(5; 0).$

Построение точки $G$:

отложим число $3$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $x$;
на оси $y$ отложим число $4$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $G(3; 4).$

Построение точки $H$:

координата $x=0$, значит, точка лежит на оси $y$;
отложим на оси $y$ число $(–4)$ и получим точку $H(0; –4).$

Построение точки $O$:

обе координаты точки равны нулю, значит, точка лежит одновременно и на оси $y$, и на оси $x$, следовательно является точкой пересечения обеих осей (началом координат).

На плоскости. Пусть одна будет x, другая – y. И пусть эти прямые будут взаимно перпендикулярны (то есть пересекаются под прямым углом). Причем точка их пересечения будет началом координат для обеих прямых, а единичный отрезок одинаков (рис. 1).

Таким образом, мы получили прямоугольную систему координат , а наша плоскость стала координатной. Прямые x и y называют осями координат. Причем, ось x – осью абсцисс, а ось y – осью ординат. Обозначается подобная плоскость обычно по названию осей и точке отсчета – xOy. Прямоугольную систему координат также называют декартовой системой координат , так как впервые ее начал активно использовать французский математик и философ - Рене Декарт.

Прямоугольные углы, образованные прямыми x и y, называют координатными углами . Каждый угол имеет свой номер как показано на рис. 2.

Итак, когда мы говорили про координатную прямую у всякой точки этой прямой была одна координата. Теперь, когда идет речь о координатной плоскости, то у каждой точки этой плоскости уже будут две координаты. Одна соответствует прямой x (эту координату называют абсциссой ), другая соответствует прямой y (эту координату называют ординатой ). Записывается это таким образом: M(x;y), где x – абсцисса, а y – ордината. Читается как: «Точка M с координатами x, y».

Как определить координаты точки на плоскости?
Теперь мы знаем, что у каждой точки на плоскости есть две координаты. Для того чтобы узнать ее координаты нам достаточно через эту точку провести две прямые, перпендикулярные осям координат. Точки пересечения этих прямых с координатными осями и будут искомыми координатами. Так, например, на рис. 3 мы определили, что координатами точки M являются 5 и 3.

Как построить точку на плоскости по ее координатам?
Бывает и так, что мы уже знаем координаты точки на плоскости. И нам нужно найти ее расположение. Допустим у нас координаты точки (-2;5). То есть, абцисса равна -2, а ордината равна 5. Возьмем на прямой x (оси абсцисс) точку с координатой -2 и проведем через нее прямую a, параллельную оси y. Заметим, что любая точка на этой прямой будет иметь абсциссу равную -2. Теперь найдем на прямой y (оси ординат) точку с координатой 5 и проведем через нее прямую b, параллельную оси x. Заметим, что любая точка на этой прямой будет иметь ординату равную 5. На пересечении прямых a и b как раз и будет находиться точка с координатами (-2;5). Обозначим ее буквой P (рис. 4).

Добавим также, что прямая a, все точки которой имеют абсциссу -2, задается уравнением
x = -2 или что x = -2 – уравнение прямой a. Можно для удобства говорить не «прямая, которая задается уравнением x = -2», а просто «прямая x = -2». Действительно, для любой точки прямой a справедливо равенство x = -2. А прямая b, все точки которой имеют ординату 5, в свою очередь задается уравнением y = 5 или что y = 5 – уравнение прямой b.

§ 1 Система координат: определение и способ построения

В этом уроке познакомимся с понятиями «система координат», «координатная плоскость», «оси координат», научимся строить точки на плоскости по координатам.

Возьмем координатную прямую х с началом координат точкой О, положительным направлением и единичным отрезком.

Через начало координат точку О координатной прямой х проведем еще одну координатную прямую y, перпендикулярную х, положительное направление зададим вверх, единичный отрезок такой же. Таким образом, мы построили систему координат.

Дадим определение:

Две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом координат каждой из них, образуют систему координат.

§ 2 Координатная ось и координатная плоскость

Прямые, которые образуют систему координат, называют координатными осями, каждая из которых имеет свое название: координатная прямая х - ось абсцисс, координатная прямая y - ось ординат.

Плоскость, на которой выбрана система координат, называется координатной плоскостью.

Описанная система координат называется прямоугольной. Часто ее называют декартовой системой координат в честь французского философа и математика Рене Декарта.

Каждая точка координатной плоскости имеет две координаты, которые можно определить, опустив из точки перпендикуляры на оси координат. Координаты точки на плоскости - это пара чисел, из которых первое число - абсцисса, второе число - ордината. Абсциссу показывает перпендикуляр к оси х, ординату - перпендикуляр к оси y.

Отметим на координатной плоскости точку А, проведем из неё перпендикуляры к осям системы координат.

По перпендикуляру к оси абсцисс (ось х) определяем абсциссу точки А, она равна 4, ординату точки А - по перпендикуляру к оси ординат (ось у) - это 3. Координаты нашей точки 4 и 3. А (4;3). Таким образом, координаты можно найти для любой точки координатной плоскости.

§ 3 Построение точки на плоскости

А как построить точку на плоскости с заданными координатами, т.е. по координатам точки плоскости определить её положение? В данном случае действия выполняем в обратном порядке. На координатных осях находим точки соответствующие заданным координатам, через которые проводим прямые, перпендикулярные осям х и y. Точка пересечения перпендикуляров и будет искомой, т.е. точкой с заданными координатами.

Выполним задание: построить на координатной плоскости точку М (2;-3).

Для этого на оси абсцисс находим точку с координатой 2, проводим через данную точку прямую перпендикулярную оси х. На оси ординат найдем точку с координатой -3, через нее проведем прямую перпендикулярную оси y. Точка пересечения перпендикулярных прямых и будет заданной точкой М.

А теперь рассмотрим несколько частных случаев.

Отметим на координатной плоскости точки А (0; 2), В (0; -3), С (0; 4).

Абсциссы данных точек равны 0. На рисунке видно, что все точки находятся на оси ординат.

Следовательно, точки, абсциссы которых равны нулю, лежат на оси ординат.

Поменяем координаты данных точек местами.

Получится А (2;0), В (-3;0) С (4; 0). В этом случае все ординаты равны 0 и точки находятся на оси абсцисс.

Значит, точки, ординаты которых равны нулю, лежат на оси абсцисс.

Разберем еще два случая.

На координатной плоскости отметим точки М (3; 2), N (3; -1), Р (3; -4).

Легко заметить, что все абсциссы точек одинаковые. Если эти точки соединить, получится прямая, параллельная оси ординат и перпендикулярная оси абсцисс.

Напрашивается вывод: точки, имеющие одну и ту же абсциссу, лежат на одной прямой, которая параллельна оси ординат и перпендикулярна оси абсцисс.

Если поменять координаты точек М, N, Р местами, то получится М (2; 3), N (-1; 3), Р (-4; 3). Одинаковыми станут ординаты точек. В данном случае, если эти точки соединить, получится прямая параллельная оси абсцисс и перпендикулярная оси ординат.

Таким образом, точки, имеющие одну и ту же ординату, лежат на одной прямой параллельной оси абсцисс и перпендикулярной оси ординат.

В этом уроке Вы познакомились с понятиями «система координат», «координатная плоскость», «оси координат - ось абсцисс и ось ординат». Узнали, как найти координаты точки на координатной плоскости и научились строить точки на плоскости по ее координатам.

Список использованной литературы:

Математика. 6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича//автор-составитель Л.А. Топилина. – Мнемозина, 2009.
Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013.
Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др./по редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос.акад.наук, Рос.акад.образования. - М.: «Просвещение», 2010
Справочник по математике - http://lyudmilanik.com.ua
Справочник для учащихся в средней школе http://shkolo.ru