Стандартный вид многочлена. Многочлен и его стандартный вид

Многочленом называют сумму одночленов. Если все члены многочлена записать в стандартном виде (см. п. 51) и выполнить приведение подобных членов, то получится многочлен стандартного вида.

Всякое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида - в этом состоит цель преобразований (упрощений) целых выражений.

Рассмотрим примеры, в которых целое выражение нужно привести к стандартному виду многочлена.

Решение. Сначала приведем к стандартному виду члены многочлена. Получим После приведения подобных членов получим многочлен стандартного вида

Решение. Если перед скобками стоит знак «плюс, то скобки можно опустить, сохранив знаки всех слагаемых, заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом раскрытия скобок, получим:

Решение. Если перед скобками стоит зиак «минус», то скобки можно опустить, изменив знаки всех слагаемых» заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом паскрытия скобок, получим:

Решение. Произведение одночлена и многочлена согласно распределительному закону равно сумме произведений этого одночлена и каждого члена многочлена. Получаем

Решение. Имеем

Решение. Имеем

Осталось привести подобные члены (они подчеркнуты). Получим:

53. Формулы сокращенного умножения.

В некоторых случаях приведение целого выражения к стандартному виду многочлена осуществляется с использованием тождеств:

Эти тождества называют формулами сокращенного умножения,

Рассмотрим примеры, в которых нужно преобразовать заданное выражение в миогочлеи стандартного вида.

Пример 1. .

Решение. Воспользовавшись формулой (1), получим:

Пример 2. .

Решение.

Пример 3. .

Решение. Воспользовавшись формулой (3), получим:

Пример 4.

Решение. Воспользовавшись формулой (4), получим:

54. Разложение многочленов на множители.

Иногда можно преобразовать многочлен в произведение нескольких сомножителей - многочленов или одпочленов. Такое тождественное преобразование называется разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.

Рассмотрим некоторые способы разложения многочленов на множители,

1) Вынесение общего множителя за скобку. Это преобразование является непосредственным следствием распределительного закона (для наглядности нужно лишь переписать этот закон «справа налево»):

Пример 1. Разложить на множители многочлен

Решение. .

Обычно при вынесении общего множителя за скобки каждую переменную, входящую во все члены многочлена, выносят с наименьшим показателем, который она имеет в данном многочлене. Если все коэффициенты многочлена - целые числа, то в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена.

2) Использование формул сокращенного умножения. Формулы (1) - (7) из п. 53, будучи прочитанными «справа налево, во многих случаях оказываются полезными для разложения многочленов на множители.

Пример 2. Разложить на множители .

Решение. Имеем . Применив формулу (1) (разность квадратов), получим . Применив

теперь формулы (4) и (5) (сумма кубов, разность кубов), получим:

Пример 3. .

Решение. Сначала вынесем за скобку общий множитель. Для этого найдем наибольший общий делитель коэффициентов 4, 16, 16 и наименьшие показатели степеней, с которыми переменные а и b входят в составляющие данный многочлен одночлены. Получим:

3) Способ группировки. Он основан на том, что переместительный и сочетательный законы сложения позволяют группировать члены многочлена различными способами. Иногда удается такая группировка, что после вынесения за скобки общих множителей в каждой группе в скобках остается однн и тот же многочлен, который в свою очередь как общий множитель может быть вынесен за скобки. Рассмотрим примеры разложения многочлена на множители.

Пример 4. .

Решение. Произведем группировку следующим образом:

В первой группе вынесем за скобку общий множитель во второй - общий множитель 5. Получим Теперь многочлен как общий множитель вынесем за скобку: Таким образом, получаем:

Пример 5.

Решение. .

Пример 6.

Решение. Здесь никакая группировка не приведет к появлению во всех группах одного и того же многочлена. В таких случаях иногда оказывается полезным представить какой-либо член многочлена в виде некоторой суммы, после чего снова попробовать применить способ группировки. В нашем примере целесообразно представить в виде суммы Получим

Пример 7.

Решение. Прибавим и отнимем одночлен Получим

55. Многочлены от одной переменной.

Многочлен , где a, b - числа переменная, называется многочленом первой степени; многочлен где а, b, с - числа переменная, называется многочленом второй степени или квадратным трехчленом; многочлен где а, b, с, d - числа переменная называется многочленом третьей степени.

Вообще если о, переменная, то многочлен

называется лсмогочленол степени (относительно х); , m-члены многочлена, коэффициенты, старший член многочлена, а - коэффициент при старшем члене, свободный член многочлена. Обычно многочлен записывают по убывающим степеням переменной, т. е. степени переменной постепенно уменьшаются, в частности, на первом месте стоит старший член, на последнем - свободный член. Степень многочлена - это степень старшего члена.

Например, многочлен пятой степени, в котором старший член, 1 - свободный член многочлена.

Корнем многочлена называют такое значение при котором многочлен обращается в нуль. Например, число 2 является корнем многочлена так как

Многочлен и его стандартный вид

Многочленом называется сумма одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Так членами многочлена 4x2y - 5xy + 3x -1 являются 4x2y, -5xy, 3x и -1 .

Если многочлен состоит из двух членов, то его называют двучленом, если из трех - трехчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена.

В многочлене 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 члены 7x3y2 и - 2y2x3 являются подобными слагаемыми, так как имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными являются и слагаемые -12 и 6, не имеющие буквенной части. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене - приведением подобных членов многочлена.

Приведем для примера подобные члены в многочлене 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 = 5x3y2 + 4x2y - 6 .

Многочлен называется многочленом стандартного вида, если каждый его член является одночленом стандартного вида и этот многочлен не содержит подобных слагаемых.

Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого нужно каждый его член представить в стандартном виде и привести подобные слагаемые.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Для примера найдем степень многочлена 8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4:

8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4 = 4x2y -6.

Заметим, что в исходный многочлен входят одночлены шестой степени, но при приведении подобных членов все они сократились, и получился многочлен третьей степени, значит и исходный многочлен имеет степень 3!
Многочлены от одной переменной

Выражение вида, где - некоторые числа и, называется многочленом степени от.

Два многочлена называются тождественно равными, если их числовые значения совпадают при всех значениях. Многочлены и тождественно равны тогда и только тогда, когда они совпадают, т.е. коэффициенты при одинаковых степенях этих многочленов одинаковы.

При делении многочлена на многочлен (например «уголком») получаем многочлен (неполное частное) и остаток - многочлен (в случае, когда остаток равен нулю, многочлен называется частным). Если - делимое, - делитель, то многочлен представим в виде. При этом сумма степеней многочленов и равна степени многочлена, а степень остатка меньше степени делителя..

Понятие многочлена. Степень многочлена

Многочленом от переменной х будем называть выражение вида

anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0,где n - натуральное число; аn, an-1,..., a1, a0 - любые числа, называемые коэффициентами этого многочлена. Выражения anxn, an-1xn-1,..., a1х, a0 называются членами многочлена, а0 - свободным членом.

Часто будем употреблять и такие термины: an - коэффициент при хn, аn-1 - коэффициент при хn-1 и т.д.

Примерами многочленов являются следующие выражения: 0х4+2х3+ (-3) х3+ (3/7) х+; 0х2+0х+3; 0х2+0х+0. Здесь для первого многочлена коэффициентами являются числа 0, 2, - 3, 3/7, ; при этом, например, число 2 - коэффициент при х3, а - свободный член.

Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, называется нулевым.

Так, например, многочлен 0х2+0х+0 - нулевой.

Из записи многочлена видно, что он состоит из нескольких членов. Отсюда и произошел термин ‹‹многочлен›› (много членов). Иногда многочлен называют полиномом. Этот термин происходит от греческих слов πολι - много и νομχ - член.

Многочлен от одной переменной х будем обозначать так: f (x), g (x), h (x) и т.д. например, если первый приведённых выше многочленов обозначить f (x), то можно записать: f (x) =0x4+2x3+ (-3) x2+3/7x+.

Для того чтобы запись многочлена выглядела проще и выглядела компактнее, договорились о ряде условностей.

Те члены не нулевого многочлена, у коэффициенты равны нулю, не записывают. Например, вместо f (x) =0x3+3x2+0x+5 пишут: f (x) =3x2+5; вместо g (x) =0x2+0x+3 - g (x) =3. Таким образом, каждое число - это тоже многочлен. Многочлен h (x), у которого все коэффициенты равны нулю, т.е. нулевой многочлен, записывают так: h (x) =0.

Коэффициенты многочлена, не являющиеся свободным членом и равные 1, тоже не записывают. Например, многочлен f (x) =2x3+1x2+7x+1 можно записать так: f (x) =x3+x2+7x+1.

Знак ‹‹-›› отрицательного коэффициента относят к члену, содержащему этот коэффициент, т.е., например, многочлен f (x) =2x3+ (-3) x2+7x+ (-5) записывают в виде f (x) =2x3-3x2+7x-5. При этом, если коэффициент, не являющийся свободным членом, равен - 1, то знак "-" сохраняют перед соответствующим членом, а единицу не пишут. Например, если многочлен имеет вид f (x) =x3+ (-1) x2+3x+ (-1), то его можно записать так: f (x) =x3-x2+3x-1.

Может возникнуть вопрос: зачем, например, уславливаться о замене 1х на х в записи многочлена, если известно, что 1х=х для любого числа х? Дело в том, что последнее равенство имеет место, если х - число. В нашем же случае х - элемент произвольной природы. Более того запись 1х мы пока не имеем права рассматривать как произведение числа 1 и элемента х, ибо, повторяем х - это не число. Именно таким обстоятельством и вызваны условности в записи многочлена. И если мы дальше говорим все-таки о произведении, скажем, 2 и х без всяких оснований, то этим допускаем некоторую нестрогость.

В связи с условностями в записи многочлена обращаем внимание на такую деталь. Если имеется, например, многочлен f (x) =3х3-2х2-х+2, то его коэффициенты - это числа 3, - 2, - 1,2. Конечно, можно было бы сказать, что коэффициентами являются числа 0, 3, - 2, - 1, 2, имея в виду такое представление данного многочлена: f (x) =0x4-3x2-2x2-x+2.

В дальнейшем для определенности будем указывать коэффициенты, начиная с отличного от нуля, в порядке их следования в записи многочлена. Так, коэффициентами многочлена f (x) =2x5-x являются числа 2, 0, 0, 0, - 1, 0. Дело в том, что хотя, например, член с х2 в записи отсутствует, это лишь означает, что его коэффициент равен нулю. Аналогично свободного члена в записи нет, поскольку он равен нулю.

Если имеется многочлен f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 и an≠0, то число n называют степенью многочлена f (x) (или говорят: f (x) - n-й степени) и пишут ст. f (x) =n. В этом случае an называется старшим коэффициентом, а anxn - старшим членом данного многочлена.

Например, если f (x) =5x4-2x+3, то ст. f (x) =4, старший коэффициент - 5, старший член - 5х4.

Рассмотрим теперь многочлен f (x) =a, где а - число, отличное от нуля. Чему равна степень этого многочлена? Легко заметить, что коэффициенты многочлена f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 пронумерованы справа налево числами 0, 1, 2, …, n-1, n и если an≠0, то ст. f (x) =n. Значит, степень многочлена - это наибольший из номеров его коэффициентов, отличных от нуля (при той нумерации, о которой только что говорилось). Вернемся теперь к многочлену f (x) =a, a≠0, и пронумеруем его коэффициенты справа налево числами 0, 1, 2, … коэффициент а при этом получит номер 0, а так как все остальные коэффициенты - нулевые, то это и есть самый большой из номеров коэффициентов данного многочлена, отличных от нуля. Значит ст. f (x) =0.

Таким образом, многочлены нулевой степени - это числа, отличные от нуля.

Осталось выяснить, как обстоит дело со степенью нулевого многочлена. Как известно, все его коэффициенты равны нулю, и поэтому к нему нельзя применить данное выше определение. Так вот, условились нулевому многочлену не присваивать никакой степени, т.е. что он не имеет степени. Такая условность вызвана некоторым обстоятельством, которые будут рассмотрены несколько позже.

Итак, нулевой многочлен степени не имеет; многочлен f (x) =a, где а - число, отличное от нуля, имеет степень 0; степень же всякого другого многочлена, как легко заметить, равна наибольшему показателю степени переменной х, коэффициент при которой равен нулю.

В заключение напомним еще несколько определений. Многочлен второй степени f (x) =ax2+bx+c называется квадратным трехчленом. Многочлен первой степени вида g (x) =x+c называется линейным двучленом.
Схема Горнера.

Схема Горнера - один из простейших способов деления многочлена на бином x-a. Конечно, делением применение схемы Горнера не исчерпывается, но для начала рассмотрим именно это. Применение алгоритма поясним на примерах. Разделим на. Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена по убыванию степеней переменной. Заметьте, что данный многочлен не содержит х, т.е. коэффициент перед х равен 0. Так как мы делим на, во второй строке запишем единицу:

Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. В первую пустую ячейку запишем 5, просто перенеся ее из соответствующей ячейки первой строки:

Следующую ячейку заполним по такому принципу:

Аналогично заполним и четвертую: :

Для пятой ячейки получим:

И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем:

Задача решена, осталось только записать ответ:

Как видите, числа, расположенные во второй строке (между первым и последним), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления на. Последнее число во второй строке означает остачу от деления или, что то же самое, значение многочлена при. Следовательно, если в нашем случае остача равна нулю, то многочлены делятся нацело.

Полученный результат говорит также и о том, что 1 является корнем многочлена.

Приведем еще один пример. Разделим многочлен на. Сразу оговорим, что выражение нужно представить в форме. В схеме Горнера будет учавствовать именно -3.

Если наша цель - найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз подряд, - до тех пор, пока мы не исчерпаем все корни. Например, отыщем все корни многочлена. Целые корни нужно искать среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей 8. Т.е., целыми корнями могут быть числа -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8. Проверим, к примеру, 1:

Итак, в остаче имеем 0, т.е. единица действительно является корнем данного мнгогочлена. Попробуем проверить единицу еще несколько раз. Новую таблицу для этого создавать не будем, а продолжим использование предыдущей:

Вновь в остаче ноль. Продолжим таблицу до тех пор, пока не исчерпаем все возможные значения корней:

Итог: Конечно, данный метод подбора малоэффективен в общем случае, когда корни не являются целыми числами, но для целых корней метод довольно-таки неплох.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОРНИ МНОГОЧЛЕНА С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Нахождение корней многочлена – интересная и достаточно трудная задача, решение которой выходит за границы школьного курса математики. Однако для многочленов с целыми коэффициентами есть простой переборный алгоритм, позволяющий находить все рациональные корни.

Теорема. Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень (– несократимая дробь),

то числитель дроби является делителем свободного члена, а знаменатель – делителем старшего коэффициента этого многочлена.

Доказательство

Пусть многочлен записан в каноническом виде Подставим и освободимся от знаменателей, домножив на наибольшую степень n:

Перенесем вправо член

Произведение делится на целое число m. По условию дробь несократима, следовательно, числа m и n взаимно просты. Тогда взаимно простыми будут числа m и Если произведение чисел делится на m, а множитель взаимно прост с m, то второй множитель должен делиться на m.

Доказательство делимости старшего коэффициента на знаменатель n доказывается точно так же, перенося вправо член и вынося слева множитель n за скобку.

Сделаем несколько замечаний к доказанной теореме.

Замечания

1) Теорема дает только необходимое условие существования рационального корня. Это означает, что нужно проверить все рациональные числа, с указанным в теореме свойством и отобрать из них те, которые окажутся корнями. Других не будет.

2) Среди делителей надо брать не только положительные, но и отрицательные целые числа.

3) Если старший коэффициент равен 1, то всякий рациональный корень должен быть целым, так как у 1 нет делителей, кроме

Проиллюстрируем теорему и замечания к ней на примерах.

1) Рациональные корни должны быть целыми.

Перебираем делители свободного члена: Положительные числа подставлять нет смысла, так как все коэффициенты многочлена положительны и при

Осталось вычислить F(–1) и F(–2). F(–1)=1+0; F(–2)=0.

Итак, многочлен имеет один целый корень x=–2.

Можем поделить F(x) на x+2:

2) Выписываем возможные значения корней:

Подстановкой убеждаемся, что и Многочлен имеет три различных рациональных корня:

Конечно, корень x = -1 угадывается легко. Потом можно разложить на множители и искать корни квадратного трехчлена обычными приемами.

ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА

Деление многочленов

Пример №1

6х 3 + х 2 – 3х – 2 2х 2 – х – 1

6х 3 ± 3х 2 ± 3х 3х + 2

4х 2 + 0х – 2

4х 2 ± 2х ± 2

Таким образом, 6х 3 + х 2 – 3х – 2 = (2х 2 – х – 1)(3х + 2) + 2х.

Пример №2

a 5 a 4 b a 4 –a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4

± a 4 b ± a 3 b 2

– a 2 b 3 + b 5

± a 2 b 3 ± ab 4

Таким образом, a 5 + b 5 = (a + b)(a 4 –a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4).

- многочленами . В этой статье мы изложим все начальные и необходимые сведения о многочленах. К ним, во-первых, относится определение многочлена с сопутствующими определениями членов многочлена, в частности, свободного члена и подобных членов. Во-вторых, остановимся на многочленах стандартного вида, дадим соответствующее определение и приведем их примеры. Наконец, введем определение степени многочлена, разберемся, как ее найти, и скажем про коэффициенты членов многочлена.

Навигация по странице.

Многочлен и его члены – определения и примеры

В 7 классе многочлены изучаются сразу после одночленов, это и понятно, так как определение многочлена дается через одночлены. Дадим это определение, объясняющее что такое многочлен.

Определение.

Многочлен – это сумма одночленов; одночлен считается частным случаем многочлена.

Записанное определение позволяет привести сколько угодно примеров многочленов. Любой из одночленов 5 , 0 , −1 , x , 5·a·b 3 , x 2 ·0,6·x·(−2)·y 12 , и т.п. является многочленом. Также по определению 1+x , a 2 +b 2 и - это многочлены.

Для удобства описания многочленов вводится определение члена многочлена.

Определение.

Члены многочлена – это составляющие многочлен одночлены.

Например, многочлен 3·x 4 −2·x·y+3−y 3 состоит из четырех членов: 3·x 4 , −2·x·y , 3 и −y 3 . Одночлен считается многочленом, состоящим из одного члена.

Определение.

Многочлены, которые состоят из двух и трех членов, имеют специальные названия – двучлен и трехчлен соответственно.

Так x+y – это двучлен, а 2·x 3 ·q−q·x·x+7·b – трехчлен.

В школе наиболее часто приходится работать с линейным двучленом a·x+b , где a и b – некоторые числа, а x – переменная, а также с квадратным трехчленом a·x 2 +b·x+c , где a , b и c – некоторые числа, а x – переменная. Вот примеры линейных двучленов: x+1 , x·7,2−4 , а вот примеры квадратных трехчленов: x 2 +3·x−5 и .

Многочлены в своей записи могут иметь подобные слагаемые . Например, в многочлене 1+5·x−3+y+2·x подобными слагаемыми являются 1 и −3 , а также 5·x и 2·x . Они имеют свое особое название – подобные члены многочлена.

Определение.

Подобными членами многочлена называются подобные слагаемые в многочлене.

В предыдущем примере 1 и −3 , как и пара 5·x и 2·x , являются подобными членами многочлена. В многочленах, имеющих подобные члены, можно для упрощения их вида выполнять приведение подобных членов .

Многочлен стандартного вида

Для многочленов, как и для одночленов, существует так называемый стандартный вид. Озвучим соответствующее определение.

Исходя из данного определения, можно привести примеры многочленов стандартного вида. Так многочлены 3·x 2 −x·y+1 и записаны в стандартном виде. А выражения 5+3·x 2 −x 2 +2·x·z и x+x·y 3 ·x·z 2 +3·z не являются многочленами стандартного вида, так как в первом из них содержатся подобные члены 3·x 2 и −x 2 , а во втором – одночлен x·y 3 ·x·z 2 , вид которого отличен от стандартного.

Заметим, что при необходимости всегда можно привести многочлен к стандартному виду .

К многочленам стандартного вида относится еще одно понятие – понятие свободного члена многочлена.

Определение.

Свободным членом многочлена называют член многочлена стандартного вида без буквенной части.

Иными словами, если в записи многочлена стандартного вида есть число, то его называют свободным членом. Например, 5 – это свободный член многочлена x 2 ·z+5 , а многочлен 7·a+4·a·b+b 3 не имеет свободного члена.

Степень многочлена – как ее найти?

Еще одним важным сопутствующим определением является определение степени многочлена. Сначала определим степень многочлена стандартного вида, это определение базируется на степенях одночленов , находящихся в его составе.

Определение.

Степень многочлена стандартного вида – это наибольшая из степеней входящих в его запись одночленов.

Приведем примеры. Степень многочлена 5·x 3 −4 равна 3 , так как входящие в его состав одночлены 5·x 3 и −4 имеют степени 3 и 0 соответственно, наибольшее из этих чисел есть 3 , оно и является степенью многочлена по определению. А степень многочлена 4·x 2 ·y 3 −5·x 4 ·y+6·x равна наибольшему из чисел 2+3=5 , 4+1=5 и 1 , то есть, 5 .

Теперь выясним, как найти степень многочлена произвольного вида.

Определение.

Степенью многочлена произвольного вида называют степень соответствующего ему многочлена стандартного вида.

Итак, если многочлен записан не в стандартном виде, и требуется найти его степень, то нужно привести исходный многочлен к стандартному виду, и найти степень полученного многочлена – она и будет искомой. Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите степень многочлена 3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 .

Решение.

Сначала нужно представить многочлен в стандартном виде:
3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 = =(3·a 12 −2·a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2 .

В полученный многочлен стандартного вида входят два одночлена −2·a 2 ·b 2 ·c 2 и y 2 ·z 2 . Найдем их степени: 2+2+2=6 и 2+2=4 . Очевидно, наибольшая из этих степеней равна 6 , она по определению является степенью многочлена стандартного вида −2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2 , а значит, и степенью исходного многочлена. , 3·x и 7 многочлена 2·x−0,5·x·y+3·x+7 .

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

На данном уроке мы вспомним основные определения данной темы и рассмотрим некоторые типовые задачи, а именно приведение многочлена к стандартному виду и вычисление численного значения при заданных значениях переменных. Мы решим несколько примеров, в которых будет применяться приведение к стандартному виду для решения разного рода задач.

Тема: Многочлены. Арифметические операции над одночленами

Урок: Приведение многочлена к стандартному виду. Типовые задачи

Напомним основное определение: многочлен - это сумма одночленов. Каждый одночлен, входящий в состав многочлена как слагаемое называется его членом. Например:

Двучлен;

Многочлен;

Двучлен;

Поскольку многочлен состоит из одночленов, то первое действие с многочленом следует отсюда - нужно привести все одночлены к стандартному виду. Напомним, что для этого нужно перемножить все численные множители - получить численный коэффициент, и перемножить соответствующие степени - получить буквенную часть. Кроме того, обратим внимание на теорему о произведении степеней: при умножении степеней показатели их складываются.

Рассмотрим важную операцию - приведение многочлена к стандартному виду. Пример:

Комментарий: чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести к стандартному виду все одночлены, входящие в его состав, после этого, если есть подобные одночлены - а это одночлены с одинаковой буквенной частью - выполнить действия с ними.

Итак, мы рассмотрели первую типовую задачу - приведение многочлена к стандартному виду.

Следующая типовая задача - вычисление конкретного значения многочлена при заданных численных значениях входящих в него переменных. Продолжим рассматривать предыдущий пример и зададим значения переменных:

Комментарий: напомним, что единица в любой натуральной степени равна единице, а ноль в любой натуральной степени равен нулю, кроме того, напомним, что при умножении любого числа на ноль получаем ноль.

Рассмотрим ряд примеров на типовые операции приведения многочлена к стандартному виду и вычисление его значения:

Пример 1 - привести к стандартному виду:

Комментарий: первое действие - приводим одночлены к стандартному виду, нужно привести первый, второй и шестой; второе действие - приводим подобные члены, то есть выполняем над ними заданные арифметические действия: первый складываем с пятым, второй с третьим, остальные переписываем без изменений, так как у них нет подобных.

Пример 2 - вычислить значение многочлена из примера 1 при заданных значениях переменных:

Комментарий: при вычислении следует вспомнить, что единица в любой натуральной степени это единица, при затруднении вычислений степеней двойки можно воспользоваться таблицей степеней.

Пример 3 - вместо звездочки поставить такой одночлен, чтобы результат не содержал переменной :

Комментарий: независимо от поставленной задачи, первое действие всегда одинаково - привести многочлен к стандартному виду. В нашем примере это действие сводится к приведению подобных членов. После этого следует еще раз внимательно прочитать условие и подумать, каким образом мы можем избавиться от одночлена . очевидно, что для этого нужно к нему прибавить такой же одночлен, но с противоположным знаком - . далее заменяем звездочку этим одночленом и убеждаемся в правильности нашего решения.

Члены многочлена являются базовыми единицами многих алгебраических структур. По своему определению, мономы - это либо натуральные числовые значения, либо некие переменные (группы умноженных друг на друга переменных).

Одним из главных математических действий над многочленом является приведение подобных слагаемых. В этом видеоуроке мы рассмотрим более подробно, что собой представляют операции над многочленом.

Так как все члены полинома между собой связаны посредством алгебраического суммирования, то все они именуются слагаемыми. Подобными же являются мономы, имеющие одинаковую буквенную часть, т.е. состоящие из одинаковых переменных. При этом переменные обязательно должны быть в одинаковой степени и при равном числовом коэффициенте. А отдельные числовые значения в многочленах считаются приравненными к подобным слагаемым сами по себе.

Приведение подобных слагаемых подразумевает группирование мономов многочлена так, чтобы получились отдельные части, состоящие полностью из подобных слагаемых. К примеру, рассмотрим данный многочлен:

3а 2 + 2ab 2 - 6 - 3с 3 + 6а 2 - 7ab 2 + 7

Подобными слагаемыми, в данном случае, являются:

1. Все свободные числовые значения: -6, +7;
2. Мономы с основанием а в квадрате: +3а 2 , +6а 2 ;
3. Мономы с основанием аb в квадрате: 2ab 2 , -7ab 2 ;
4. Мономы с основанием с в кубе: -3с 3 ;

Последняя группа состоит из одного лишь одночлена, не имеющего подобного себе во всем полиноме.

Зачем нужны такие преобразования? Приведение подобных слагаемых помогает упростить многочлен, привести его к элементарному виду, который состоит из меньшего количества мономов. Это легко сделать, сгруппировав те члены, между которыми совершаются алгебраические действия. Главными операциями тут становится вычитание и сложение - они же оказывают эффект перегруппировки и позволяют свободно перемещать одночлены внутри полинома. Поэтому вполне по правилам будет преобразовать вышеуказанный пример так:

6 +7 + 3а 2 +6а 2 + 2ab 2 +(-7ab 2) + (-3с 3) =

9а 2 - 5ab 2 - 3с 3 - 1

Реализовав стандартное вычитание и сложение, получаем упрощенный многочлен. Если первоначальный вариант насчитывал 7 одночленов, то текущий имеет всего 4 члена. Однако возникает закономерный вопрос, что является точным критерием «простоты» многочлена?
С точки зрения алгебраических правил, элементарным, а точнее - стандартным многочленом считается такой полином, у которого все основания одночленов разные, и не являются подобными друг другу. Наш пример:

9а 2 - 5ab 2 - 3с 3 - 1

Состоит из мономов с основаниями а 2 , ab 2 , с 3 , а также, из одного числового значения. Ни один из вышеперечисленных элементов не может быть суммирован или вычтен из другого. Перед нами - стандартный полином, состоящий из четырех членов.

У любого многочлена есть такой критерий, как степень. Степенью полинома, в общем отношении, называется наибольшая степень одночлена в данном многочлене. Стоит усвоить важную деталь - степени многобуквенных (многопеременных) выражений суммируются. Поэтому, общая степень ab 2 равна трем (а в первой степени, b в квадрате). А многочлен вида:

9а 2 - 5ab 2 - 3с 3 - 1

имеет степень, равную трем, так как один из одночленов находится в наибольшей кубической степени.

Степень полиномов принято определять только для стандартного вида. Если многочлен имеет подобные слагаемые, то его сначала приводят к упрощенному виду, а потом вычисляют итоговую степень.

Если многочлен состоит только из одних числовых одночленов, то его стандартная форма приобретает вид единственного числа, являющегося алгебраической суммой всех мономов. Степень данного числа, как многочлена, равна нулю. Если же само число, будучи стандартным видом полинома, приобретает значение «ноль», то его степень считается неопределенной, а сам «нулевой» многочлен называется нуль-полиномом.

На представленном видео также заметно, что любой многочлен имеет, помимо всего прочего, старший коэффициент и свободный член. Старшим коэффициентом называют числовое значение, стоящие перед переменной с наибольшей степенью (той самой, которая задает разряд самому многочлену). А свободный член - это итоговая сумма всех числовых значений многочлена. Если подобных значений в полиноме нет, либо же если они полностью сокращаются, то свободный член принимают равным 0. В примере:

7а 4 - 2в 2 + 5с 3 + 3

старшим коэффициентом является число 7, потому что оно стоит перед переменной, имеющей наибольшую степень (четвертую - и, вместе с тем, весь многочлен имеет четвертую степень). Свободный член, в данном примере, равен 3.