Определение логарифма, основное логарифмическое тождество.

(от греческого λόγος - «слово», «отношение» и ἀριθμός - «число») числа b по основанию a (log α b ) называется такое число c , и b = a c , то есть записи log α b =c и b=a c эквивалентны. Логарифм имеет смысл, если a > 0, а ≠ 1, b > 0.

Говоря другими словами логарифм числа b по основанию а формулируется как показатель степени , в которую надо возвести число a , чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).

Из данной формулировки вытекает, что вычисление x= log α b , равнозначно решению уравнения a x =b.

Например:

log 2 8 = 3 потому, что 8=2 3 .

Выделим, что указанная формулировка логарифма дает возможность сразу определить значение логарифма , когда число под знаком логарифма выступает некоторой степенью основания. И в правду, формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с . Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа .

Вычисление логарифма именуют логарифмированием . Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей трансформируется в суммы членов.

Потенцирование - это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов трансформируются в произведение сомножителей.

Достаточно часто используются вещественные логарифмы с основаниями 2 (двоичный), е число Эйлера e ≈ 2,718 (натуральный логарифм) и 10 (десятичный).

На данном этапе целесообразно рассмотреть образцы логарифмов log 7 2, ln√ 5, lg0.0001.

А записи lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма помещено отрицательное число , во второй - отрицательное число в основании, а в третьей - и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.

Условия определения логарифма.

Стоит отдельно рассмотреть условия a > 0, a ≠ 1, b > 0.при которых дается определение логарифма . Рассмотрим, почему взяты эти ограничения. В это нам поможет равенство вида x = log α b , называемое основным логарифмическим тождеством , которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.

Возьмем условие a≠1 . Поскольку единица в любой степени равна единице, то равенство x=log α b может существовать лишь при b=1 , но при этом log 1 1 будет любым действительным числом . Для исключения этой неоднозначности и берется a≠1 .

Докажем необходимость условия a>0 . При a=0 по формулировке логарифма может существовать только при b=0 . И соответственно тогда log 0 0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Исключить эту неоднозначность дает условие a≠0 . А при a<0 нам бы пришлось отвергнуть разбор рациональных и иррациональных значений логарифма, поскольку степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Именно по этой причине и оговорено условие a>0 .

И последнее условие b>0 вытекает из неравенства a>0 , поскольку x=log α b , а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.

Особенности логарифмов.

Логарифмы характеризуются отличительными особенностями , которые обусловили их повсеместное употребление для значительного облегчения кропотливых расчетов. При переходе «в мир логарифмов» умножение трансформируется на значительно более легкое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня трансформируются соответствующе в умножение и деление на показатель степени.

Формулировку логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые издал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, увеличенные и детализированные прочими учеными, широко использовались при выполнении научных и инженерных вычислений, и оставались актуальными пока не стали применяться электронные калькуляторы и компьютеры.

Степенная или логарифмическая зависимость?

Сравнение коэффициентов корреляции

Еще в XIX в. немецкий философ, один из основоположников научной психологии Г.-Т. Фехнер выдвинул психофизический закон, описывающий зависимость ощущений от величины физической стимуляции. Этот закон, получивший название закона Вебера – Фехнера, предполагал логарифмическую зависимость между энергией стимула, воздействующего на орган чувств, и величиной ощущения, которое этот стимул вызывает. В XX в. американский психофизик С. С. Стивенс подверг критике методологию Фехнера, не предполагавшую возможности непосредственной оценки ощущения. Результатом этой критики стала разработка С. С. Стивенсом ряда методических процедур, которые получили название методов прямой оценки ощущений. На основе получаемых в эксперименте данных стало возможным оценивать связь между величиной стимула и величиной ощущения не только в теории, но и на практике. В результате Стивенс сделал вывод о том, что психофизическая зависимость должна описываться но логарифмической, а степенной функцией.

Посмотрим, каким образом методология Стивенса и простейшие процедуры корреляционного анализа позволяют сравнить данные на предмет их соответствия логарифмическому и степенному психофизическому закону.

Для этого воспользуемся результатами, полученными в одном психофизическом эксперименте (Т. Engen ). В этом эксперименте для оценки концентраций запаха амилацетата (банана), разведенного в диэтилфталате, использовался метод оценки величины с заданным модулем. Каждый из 12 испытуемых дважды проводил оценку семи различных концентраций запаха. В качестве модуля использовалась концентрация 12,5%. Значение модуля задавалось равным 10. В табл. 7.10 представлены усредненные шкальные значения для каждого стимула.

Представим эти результаты в виде диаграммы рассеивания (рис. 7.7). Видно, что по мере нарастания концентрации пахучего вещества увеличивается субъективная оценка его ощущения. Эта зависимость носит монотонный, но, по-видимому, нелинейный характер. Тем не менее вычисление коэффициента корреляции между этими двумя рядами данных дает довольно высокое значение – 0,984. Такой коэффициент корреляции дает объяснение 96,8% дисперсии зависимой переменной (критерия), непосредственно ассоциированной со значением независимой переменной (предиктора), хотя и не имеет под собой каких-либо теоретических оснований.

Таблица 7.10

Субъективная шкала запаха амилацетата, разведенного в диатилфталате (Т. Engen )

Рис. 7.7.

Логарифмический закон Вебера – Фехнера предполагает, что линейная зависимость будет наблюдаться между логарифмами концентрации амилацетата и субъективной оценкой ощущения.

Такая зависимость представляется весьма вероятной, если судить по данным, которые представлены на рис. 7.7. Поэтому осуществим трансформацию использовавшихся в эксперименте концентраций в их натуральные логарифмы и снова построим диаграмму рассеивания. На рис. 7.8 отражена зависимость субъективной оценки запаха теперь уже от величины логарифма концентрации амилацетата. Но снова, как кажется, мы не наблюдаем линейной зависимости. На этот раз коэффициент корреляции между логарифмом концентрации пахучего вещества и субъективной оценкой его запаха оказался даже ниже того, что мы отмечали для первоначальных данных, хотя все еще и довольной высокий – 0,948. В этом случае только 89,8% дисперсии критерия непосредственно оказываются связанными с дисперсией предиктора. Таким образом предсказания закона Вебера – Фехнера применительно к нашим данным выглядят не слишком убедительно.

Рис. 7.8.

Степенной психофизический закон Стивенса устанавливает линейную зависимость между логарифмами стимуляции и величины ощущения. Рисунок 7.9 свидетельствует о том, что такое предсказание оказывается довольно точным. Все точки диаграммы рассеивания идеально выстраиваются вдоль одной линии. Коэффициент корреляции между этими рядами данных составляет 0,999. Это значит, что такая регрессионная модель описывает 99,8% дисперсии зависимой переменной, которая может быть связана с дисперсией независимой переменной.

Рис. 7.9.

Таким образом, наглядное сравнение рис. 7.7-7.9, а также вычисленные коэффициенты корреляции, как кажется, однозначно свидетельствуют в пользу степенного закона Стивенса. Тем не менее попытаемся оценить, насколько велика статистическая разница между этими тремя коэффициентами корреляции.

Прежде всего осуществим логарифмическую трансформацию вычисленных нами коэффициентов корреляции, воспользовавшись нелинейным преобразованием Фишера:

Для упрощения расчетов можно воспользоваться соответствующей функцией Microsoft Excel – ФИШЕР. В качестве аргумента она принимает значение соответствующего коэффициента корреляции.

Результаты таких преобразований дают нам следующие значения z":

• 1. Для связи концентраций амилацетата и оценки запахов z" = 2,41.
• 2. Для связи логарифма концентраций и оценки запахов z" = 1,81.
• 3. Для связи логарифма концентраций и логарифма субъективных оценок z" = 3,89.

Теперь мы можем выдвинуть три статистические гипотезы о попарном равенстве этих коэффициентов корреляции в генеральной совокупности. Для оценки статистической надежности этих гипотез необходимо построить три статистики z:

Здесь п и т соответствуют размерам выборок. В нашем случае и то и другое значение равно семи, так как используются одни и тс же данные.

В результате получаем, что статистика z для случая сравнения коэффициента корреляции между первоначальными значениями концентрации пахучего вещества и субъективной оценкой запаха, с одной стороны, и коэффициента корреляции между результатами логарифмического преобразования стимульных значений и их ощущениями – с другой, оказывается равной 0,85, что соответствует закону Вебера – Фехнера. Оценить надежность этой статистики можно с помощью статистических таблиц (см. приложение 1). Оценка показывает, что такое значение ненадежно отличается от нулевого и, следовательно, необходимо сохранить выдвинутую нулевую гипотезу о равенстве этих коэффициентов корреляции.

Сравнение коэффициента корреляции, предполагающего логарифмическую трансформацию обеих переменных – закон Стивенса, с коэффициентами корреляции, предполагающими логарифмическую трансформацию только независимой переменной – закон Вебера – Фехнера и вообще не предполагающими такой трансформации, дает значения z-статистики соответственно 2,94 и 2,10. Оба этих значения свидетельствуют о надежном отличии статистики z от теоретически ожидаемой нулевой величины. Следовательно,

необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве коэффициентов корреляции.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

В центре внимания этой статьи – логарифм . Здесь мы дадим определение логарифма, покажем принятое обозначение, приведем примеры логарифмов, и скажем про натуральные и десятичные логарифмы. После этого рассмотрим основное логарифмическое тождество.

Навигация по странице.

Определение логарифма

Понятие логарифма возникает при решении задачи в известном смысле обратной , когда нужно найти показатель степени по известному значению степени и известному основанию.

Но хватит предисловий, пришло время ответить на вопрос «что такое логарифм»? Дадим соответствующее определение.

Определение.

Логарифм числа b по основанию a , где a>0 , a≠1 и b>0 – это показатель степени, в который нужно возвести число a , чтобы в результате получить b .

На этом этапе заметим, что произнесенное слово «логарифм» должно сразу вызывать два вытекающих вопроса: «какого числа» и «по какому основанию». Иными словами, просто логарифма как бы нет, а есть только логарифм числа по некоторому основанию.

Сразу введем обозначение логарифма : логарифм числа b по основанию a принято обозначать как log a b . Логарифм числа b по основанию e и логарифм по основанию 10 имеют свои специальные обозначения lnb и lgb соответственно, то есть, пишут не log e b , а lnb , и не log 10 b , а lgb .

Теперь можно привести : .
А записи не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма находится отрицательное число, во второй – отрицательное число в основании, а в третьей – и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.

Теперь скажем о правилах чтения логарифмов . Запись log a b читается как «логарифм b по основанию a ». Например, log 2 3 - это логарифм трех по основанию 2 , а - это логарифм двух целых двух третьих по основанию квадратный корень из пяти. Логарифм по основанию e называют натуральным логарифмом , а запись lnb читается как «натуральный логарифм b ». К примеру, ln7 – это натуральный логарифм семи, а мы прочитаем как натуральный логарифм пи. Логарифм по основанию 10 также имеет специальное название – десятичный логарифм , а запись lgb читается как «десятичный логарифм b ». Например, lg1 - это десятичный логарифм единицы, а lg2,75 - десятичный логарифм двух целых семидесяти пяти сотых.

Стоит отдельно остановиться на условиях a>0 , a≠1 и b>0 , при которых дается определение логарифма. Поясним, откуда берутся эти ограничения. Сделать это нам поможет равенство вида , называемое , которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.

Начнем с a≠1 . Так как единица в любой степени равна единице, то равенство может быть справедливо лишь при b=1 , но при этом log 1 1 может быть любым действительным числом. Чтобы избежать этой многозначности и принимается a≠1 .

Обоснуем целесообразность условия a>0 . При a=0 по определению логарифма мы бы имели равенство , которое возможно лишь при b=0 . Но тогда log 0 0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Избежать этой многозначности позволяет условие a≠0 . А при a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Наконец, условие b>0 следует из неравенства a>0 , так как , а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.

В заключение этого пункта скажем, что озвученное определение логарифма позволяет сразу указать значение логарифма, когда число под знаком логарифма есть некоторая степень основания. Действительно, определение логарифма позволяет утверждать, что если b=a p , то логарифм числа b по основанию a равен p . То есть, справедливо равенство log a a p =p . Например, мы знаем, что 2 3 =8 , тогда log 2 8=3 . Подробнее об этом мы поговорим в статье

Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Основное логарифмическое тождество

Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического "тождества" при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.

Два очевидных следствия определения логарифма

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень - единицу.

Логарифм произведения и логарифм частного

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании "слева направо" происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного - расширение ОДЗ.

Действительно, выражение log a (f (x) g (x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму log a f (x) + log a g (x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Степень можно выносить за знак логарифма

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть - только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Несколько простых примеров с логарифмами

Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.

Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).

Таблица формул, связанных с логарифмами